题目描述

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例 1：

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输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167

算法思路

这道题目能看出来不是贪心能解决的，因为朴素的贪心思路其实很简单，每次都保证能获得最大的硬币，或者先把比较小的气球戳破，进而保证留下的相邻气球比较大，乘积就会大，但是很容易验证局部最优无法推导全局最优。

其次想到的方法是类似于二分，假定考虑i=0, j=n，我们最后戳破的气球是k，那么最后的到的收益就是nums[i]*nums[k]*nums[j]，这是固定的，但是我们需要求出在(i, k)和(k, j)之间上次戳破的气球，记作a1, a2，使得nums[i]*nums[a1]*nums[k]和nums[k]*nums[a2]*nums[j]再加上刚刚的nums[i]*nums[k]*nums[j]总和最大；很明显，这已经不是一个简单的二分问题，因为你无法直接确定分割点在哪，我们需要枚举每一个可能的k, a1, a2……，因此就想出来这是一道动态规划的题目！

这里借鉴的是评论区题解的一种做法。大致思路是这样的：

  1. 把这个题目倒过来看，假设需要在(i, j)这个区间戳气球

  2. 可以转化为不断添加nums[k], i < k < j，先添加的气球是最后戳破的

  3. 则状态转移就是: dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] * nums[k] * nums[j])

  4. 这里为了避免nums[i-1]越界，拷贝一个新数组a(n + 2, 1)，使得a[i] = nums[i-1]

  5. 特别注意这里是开区间，枚举中间的k；

  6. 最后返回dp[0][n+1]即可

代码如下：

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class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<vector<int>> dp(n + 2, vector<int>(n + 2, 0));
        vector<int> a(n + 2, 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = nums[i-1];
        }
        for (int len = 3; len <= n+2; len++) {
            for (int i = 0; i + len - 1 <= n+1; i++) {
                int j = i + len - 1;
                for (int k = i + 1; k < j; k++) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + a[i] * a[j] * a[k]);
                }
            }
        }
        return dp[0][n+1];
    }
};